問題２．置き換えの必要な最大値・最小値問題
この問題も関数の最大値・最小値の問題だから、グラフをかいて考えるのかな？って思うよね。
もちろん、それでいいんだけど今回の\(y=(x^2+2x)^2+4(x^2+2x)+4\)のグラフって展開したら４次関数のグラフになるので少しメンドウそうだよね。
で、どうしようかな？って考えるんだけど、今回の問題はよく見たら\(x^2+2x\)のみの式だよね。だから、\(t=x^2+2x\)とでも置換したら
$$\begin{align*}
y&=(x^2+2x)^2+4(x^2+2x)+4\\
&=t^2+4t+4
\end{align*}
$$ってなるよね。これだったら単なる２次関数だからグラフを描きやすくなるよね。
今回\(t=x^2+2x\)って置換したんだけど、置換したときは注意しないといけないことがります。それは、文字を置き換えたときは、置き換えた文字の値の範囲を考えるということです。
どういうことかと言えば、今回\(t=x^2+2x\)って置換したんだよね。でも、\(x^2+2x\)それ自身にも値の範囲があります（これもグラフをかけば分かります）。だから、置換をして解いていくのは本当に便利なんだけと、置換したときは範囲を考えるということを忘れないようにしてくださいね。
文字を置き換えたときは、置き換えた文字の値を考える
それでは、問題に戻るね。今回の場合\(t=x^2+2x\)って置換したんだよね。文字を置き換えたときは、置き換えた文字の値について考えないとダメだったんだよね。
\(t\)の値の範囲を考えるために\(t=x^2+2x\)のグラフをかいて考えていくことにするね。最大値・最小値を求めるときにグラフをかいたけど、こういうふうに値の範囲を求めるときもグラフをかいていくことが多いですよ。
$$\begin{align*}
t&=x^2+2x\\
&=(x+1)^2-1
\end{align*}$$
＊グラフをかくために、平方完成をしました。
このグラフより、\(t\)の値の範囲は\(t\geq-1\)ということが分かりました。
今回の問題は、元の状態では
「\((x^2+2x)^2+4(x^2+2x)+4\)の最小値を求めよ」という問題だったんだよね。でも、置換を利用することによって
今回の問題は、「\(t^2+4t+4\)の\(t\geq-1\)における最小値を求めよ」となりました。
これだったら簡単に求められるよね。文字の置き換えってそのくらい便利なものなんです。ただ、文字を置き換えたときは範囲を範囲を考えるということだけは絶対に覚えておいてくださいね。
ちょっと、くどいけど、もう一度書いておきます。それだけ重要っていうことです。
文字を置き換えたときは、置き換えた文字の値を考える
ここからは「\(t^2+4t+4\)の\(t\geq-1\)における最小値」を求めていけばいいんだよね。関数の最大値・最小値の問題だからグラフをかいて考えていきます。グラフをかくためにとりあえず\(y=t^2+2t+4\)とでもすることにします。
グラフより、\(t=-1\)のとき、最小値1
＊今回問題で、最小値とそのときの\(x\)の値を求めよと書いていないので\(x\)の値は求めていません。
ちなみに\(x\)の値を求めるとしたら\(t=x^2+2x\)に\(t=-1\)を代入して計算すると\(x=-1\)のときです。
動画でも解説しました。よろしくお願いします。
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