関数の最大値・最小値問題３（２変数関数の文字消去できるもの）

問題３．２変数関数の最大値・最小値問題（文字消去できるとき）

この問題も関数の最大値・最小値の問題です。関数の最大値・最小値の問題はグラフをかかないといけないんだから、例えば$z=x^2+2y$とでもおいてみて、グラフをかこうかな？と考えます。

でも、$z=x^2+2y$のグラフなんてかけないよね。なぜ、グラフがかけないのかというと、右辺が２変数関数だからです。

こういった問題を２変数関数の最大値・最小値の問題と言います。２変数関数のままではグラフをかくことができないので、このままでは解くことができません。

そこでどうしようかな？って考えるんだけどよく見ると今回問題で$x+y=2$っていう条件が与えられているよね。これより$y=2-x$と整理してから、$x^2+2y$に代入すると
$$x^2+2y=x^2+2(2-x)$$
となってくれます。これなら１変数ってなるからグラフをかいて考えることができるよね。

このように２変数関数の問題では、多くの場合１変数関数にしてから解いていくことが多いですよ。

で、どういうときに２変数関数を１変数関数にしてから考えていくのかと言うと、問題で等式が与えられているときです。

今回の問題でも、$x+y=2$という等式が与えられていました。だから、１変数にすることができました。２変数関数の問題なのに等式が与えられていないときがあります。その場合、１変数にすることはできないので、２変数のまま考えていくしかありません。

ただ、実際大学受験の問題を見てみると分かると思うけど、２変数関数の最大値・最小値問題では１変数にできることが圧倒的多数です。まずは、１変数にすることができる２変数関数の最大値・最小値問題をしっかりと理解していってくださいね。

２変数関数の最大値・最小値問題では１変数関数にしてから解いていくことが多い！

$$
\begin{align*}
z&=x^2+2y\\
&=x^2+2(2-x)\\
&=x^2-2x+4\\
&{\color{\red}{\Uparrow\,x{のみの１変数にした！}}}
\end{align*}
$$

これで２変数を１変数にすることができました。$z=x^2-2x+4$のグラフだったら簡単にかくことができるよね。ただ、まだ注意しないといけないことがあります。

問題をよく見て欲しいんだけど、まだ$y\geq0$っていう条件を考えていないよね。数学では、問題で与えられた条件はすべて使うという鉄則があります。不必要な条件は与えられないんです。

で、今回の場合$y=2-x$だったんだよね。$y=2-x$を$y\geq0$に代入すると
$$\begin{align*}
y&\geq0\\
2-x&\geq0\\
x&\leq2
\end{align*}
$$
となります。この範囲を求めるという作業を忘れないようにしてくださいね。重要なので、まとめておきます。

文字を消去するときは、必ず消去する文字の値の範囲を考える！

ここまできたらもう簡単です。今回は
$x+y=2,x\geq0,y\geq0$のとき、$x^2+2y$の最大値・最小値を求めよだったんだけど、文字消去して値の範囲を考えることによって、
$0\leq x\leq2$における$x^2-2x+4$の最大値・最小値を求めれていけばＯＫです。それでは、ここからの解答に進みますね。

$$
\begin{align*}
z&=x^2-2x+4\\
&=(x-1)^2+3
\end{align*}
$$

$\Uparrow$関数の最大値・最小値はグラフをかいて解いていきます。２次関数のグラフをかくために平方完成をしました。

$z=x^2-2x+4のグラフ$