関数の最大値・最小値問題５（相加相乗平均）

今回の問題は、\(\frac{x^2+1}{x}\)の最小値を求めよっていう問題なんだよね。

これまでの知識で考えれば、\(y=\frac{x^2+1}{x}\)のグラフでもかいて考えるのかな？と思うよね（関数の最大値・最小値はグラフをかいて考えることが基本です）。

なんだけど、今回のように分数に変数が含まれた関数のグラフなんてかけないんだ。数学３を勉強していたらかくことができるけど、ただグラフをかくのは優先順位は低いです。

で、どういうふうに解くのかと言うと、実は相加相乗平均を使って解いていきます。

「えっ、なんで最大値、最小値を求めるのに相加相乗平均なの？」なんて思うかもしれないけど、相加相乗平均って不等式なんだよね。この不等式から、最大値や最小値を求められるんです。

解き方は後で話すけど、まずはこういうふうに分母の変数が含まれてタイプの最大値、最小値問題は相加相乗平均を使って解く確率が圧倒的に高いということを覚えておいてください。

【注】さきほど、数学３を勉強したらグラフをかけるという話をしました。ですから、この問題もグラフをかいて解くこともできます。でも、やってみたら分かると思うけど、分数関数のグラフをかくのってメンドウなんです。

だから、こういう分数関数の最大値、最小値問題はまずは相加相乗平均を使えるか考える。そして、それでも解けないときグラフを使って解いていきます。グラフは優先順位の低いメンドウな解き方です。

\(\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}\)と変形できます。これを見て、「あっ、相加相乗平均が使えるな」と気づけないとダメですよ。

\(x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)と変形できます。これで、\(x+\frac{1}{x}\geq2\)が言えた訳だから、おそらく最小値は２とういことが分かったよね。

不等式を使って最大値、最小値問題を求めるときは等号が成立する条件を書いてかないとダメです。このあたりが分からない人は、問題４を見てください。そこに詳しく書いています。

等号成立条件は\(x>0\)において\(x=\frac{1}{x}\)つまり\(x=1\)のときです。

だから、今回の問題の答えは\(x=1\)のとき、最小値\(\bf{2}\)です。

今回はあえて非常に簡単な問題を選びました。ですが、分数に変数が含まれる関数の最大値・最小値問題は、相加相乗平均を使って解くことが多いということを覚えておいてください。

この問題ですが、相加相乗平均を使って解くのが一番簡単です。ですが、問題４で解説した逆像法、逆手流と呼ばれる解き方でも解くことができます。

動画で解説しているので、動画で勉強をしておいてください。

医学部に向けての数学の勉強ができるメルマガを毎週月曜日に無料で配信中！

１０年以上落ち続けた３０代の女性・・・半年後医学部医学科に合格！

青チャートなんて無理！黄チャートでも難しいといった再受験生・・・岡山大学医学部医学科に合格！

３浪してもセンター６割（涙）８割なんて夢のよう・・・入会９か月後に島根大学医学部医学科に合格！

「医学部なんて絶対無理！」と言われてきた人でも合格できた医学部受験の数学の秘訣をメルマガでお知らせします。

メールより、ラインの方がいいという方は

「ラインでメルマガを配信してもらう」から登録してください。