問題６．２変数関数の最小値問題（２乗たす２乗の形にもっていく）
話すことが多いので、動画の方が分かりやすいと思いますよ。
今回の問題は、\(x^2+y^2+xy+x-y\)となっています。で、２変数関数で等式が与えられているときは、１変数にしてから解いていくことが多いんだったよね。
今回の問題は２変数関数なんだけど、\(x\)と\(y\)に等式が与えられていないから１変数にすることはできないんだ。
で、高校数学の問題で２変数関数のまま解いていく問題は非常に少ないんだけど、今回は２変数関数のまま解いていく非常に少ないパターンのうちのひとつです。
こういった問題は、２乗たす２乗の形にもっていきます。このことは、よく出てくるから覚えておいてくださいね。
$$\begin{align*}
&x^2+y^2+xy+x-y\\
=&x^2+(y+1)x+y^2-y\\
&{\color{red}{\Uparrow{\text{\(x\)について整理した！}}}}\\
=&\left(x+\frac{y+1}{2}\right)^2-\left(\frac{y+1}{2}\right)^2+y^2-y\\
&{\color{red}{\Uparrow{\text{\(x\)の式とみなして平方完成をした！}}}}\\
=&\left(x+\frac{y+1}{2}\right)^2+\frac{3}{2}y^2-\frac{3}{2}-\frac{1}{4}\\
=&\left(x+\frac{y+1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}(y-1)^2-1\\
&{\color{red}{\Uparrow{\text{２乗たす２乗の形になった！}}}}\\
\end{align*}$$
これで、\(x+\frac{y+1}{2}=0\)かつ\(y-1=0\)つまり、\(x=-1\),\(\,y=1\)のときに最小値\(\bf{-1}\)をとります。
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